Modellierung nichtlinearer Transformator mittels LaplaceVolts

Wir nehmen die Skizze des Transformators zur Hand:

Für den Magnetfluß der Primär- und Sekundärseite setzen wir an:

mit:


Die Magnetflußdichte B soll also eine nichtlineare Funtion der Feldstärke H sein.
Die Feldstärken H sind linear von den Pin-Strömen abhängig (Amperesches Gesetz).
Die Formeln gelten eigentlich nur für unendlich schlanke Spulen, sind also eine Näherung.
Für B(H) bietet sich die Verwendung der ArcusTangens-Funktion an:

Die ATan-Funktion ist schön stetig und einfach verwendbar. Man könnte auch eine Funktion mit
5 Segmenten dafür verwenden. Das hätte den Vorteil die Schärfe in der B in die Sättigung läuft,
beliebig einstellen zu können, und würde auch Rechenzeit sparen (atan verbrennt viele OP's).

Für den Abgleich unserer Atan-Funktion müssen wir die Parameter Fm und Sm bestimmen.
Für H --> unendlich muß B --> Bmax laufen. Also setzen wir an:

Bei H = 0 muß der Anstieg (1. Ableitung) µ entsprechen, also setzen wir an:

Für die Magnetflüsse könne wir nun schreiben:

Jetzt wenden wir noch das Induktions-Gesetz an, um die Pin-Spannungen zu ermitteln:

und am Ende in Laplace-Schreibweise:

Diese Erkenntnisse müssen nun nur noch in den Script eingetragen werden:

#Volts
up = u1 - u2
us = u3 - u4
#End

#LaplaceVolts ;U(s) = F(I(s))
Hpp = NP/Len*i1
Hss = NS/Len*i3
Hps = K*Hpp
Hsp = K*Hss
Hp = Hpp + Hsp
Hs = Hss + Hps
PhiP = AxFm*atan(Sm*Hp)
PhiS = AxFm*atan(Sm*Hs)

up = RP*i1 + NP*s*PhiP
us = RS*i3 + NS*s*PhiS

<i2 = -i1> 
<i4 = -i3>
#End

Hier der vollständige Script von Transformator_Nonlin.selfdef.
Wie man sieht, können auch hier PreFormeln eingesetzt werden um die Term-Parameter für den
nichtlinearen Fall zu berechnen. Während bei LaplaceCurrents nur Pin-Spannungen in den Formeln
benutzt werden dürfen, sind hier nur Pin-Ströme verwendbar. Parameter, Vars/Konstanten und
PreFormel-Symbole sind natürlich auch hier beliebig verwendbar.
Auch müssen f(I)-Formeln immer stetig und differenzierbar sein.

Ich habe hier noch die Terme für die Verlustwiderstände hinzugefügt, was nicht weiter erklärt werden
muß. Als Matche für die Pin-Spannungs-Formeln finden wir in der Matching-Tabelle:
Typ 1,   mit beta = RP bzw. RS
Typ 19, mit beta = NP bzw. NS, und X = PhiP bzw. PhiS (X = f(I))

Analyse der B(I) - Kennlinie des Transformators:

Bitte die Schaltung DocSamples/Transformator_Nonlin_BIChart.circ öffnen:

Den Strom-Parameter der Stromquelle I1 habe ich als Circuit-Variable I1.iconst definiert. Eine Ramp-
Funktion sorgt dafür, dass der Strom langsam von -1A bis 1A hoch läuft. Bmax ist auf 1 Tesla eingestellt.
Mit dem DynChart TR1.bp sieht das Ergebniss nach Dyna so aus:

Hier wird also die Induktion der Primär-Spule als Funktion des Stromes dargestellt. Man erkennt den
ArcusTangens-Verlauf und dass die Sättigung bei 1 Tesla erreicht sein müsste.

Simulation des dynamischen Verhaltens:

Bitte die Schaltung DocSamples/Transformator_Nonlin_Dynamic.circ öffnen:

Um die Sache etwas aufzupeppen, habe ich zur Strom-Messung mal ein Scope-SelfDef-Element
ausgewählt, das auch den gleitenden Mittelwert sowie Effektivwert anzeigt. Zu finden unter
Data/SpecialScopes.

Nach Dyna erhalten wir dann bei Lastwiderstand R1 = 10Ohm folgende Chart-Ausgaben:

Deutlich sieht man hier die starken nichtlinearen Verzerrungen des Sinus-Quell-Signals.

Wir ändern R1 auf 1 Ohm und erhalten wiederum nach Dyna:

Und siehe da, nach dem Einschwingen verschwinden die nichtlinearen Erscheinungen. Das liegt daran, dass sich die
magnetischen Feldstärken der Primär- und Sekundärspulen aufheben (beide Ströme sind genau entgegen gesetzt).
Bei einem Kopplungsfaktor von -1 fließen zwar beide Ströme in die gleiche Richtung, der Wicklungssinn ist aber
umgekehrt, und die Feldstärken heben sich ebenfalls auf. 
Wegen der realen Phasenverschiebung ist die Aufhebung i. A. leider nicht 100-prozentig. 

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