4Pol-Parameter als Script hinzufügen

Für die LSA (Kleinsignal-Analyse) braucht man ein LSA-Analyser-Element. Durch Klicken mit
der rechten Maustaste auf dieses Element erscheint der LSA-Analyser-Einstellungs-Dialog.
Hier können verschiedene 4Pol-Parameter ausgewählt werden (wurde ja alles schon besprochen).
Die wichtigsten 4Pol-Parameter (wie Spannungs-Transfer, Eingangs-Impedanz usw.) sind schon
fest in ToneCirc eingebaut. Man hat aber die Möglichkeit beliebig viele 4Pol-Parameter mittels
Scripten hinzuzufügen. Diese einfachen Scripte müssen auf dem Verzeichniss Data\4PolParams
abgelegt werden und haben die Extension *.4pp. Dann erscheinen Sie auch im Analyser-Dialog
und können ausgewählt werden.

Wie so ein Script aussieht, schauen wir uns am Beispiel des Ausgangswellenwiderstandes mal
genauer an. Der Script für diesen 4Pol-Parameter hat folgenden Inhalt:

#Description
Output WaveImpedance , Ausgangswellenwiderstand
Wählt man Rq = Eingangswellenwid. und Rl = Ausgangswellenwid.,
so liegt am Ein- und Ausgang Anpassung vor. Es kommt zu
keinerlei Reflexionen.
#End

#DefinePropertys
Name = Output WaveImpedance
XUnit = Ohm
YUnit = Ohm
PlotType = Nyquist     ;
Nyquist , Bode or Smith
#End

#Compute4PolParam
Y = sqrt( y11/(y22*dety) )
#End

zu Description:

Da 4Pol-Parameter oft sehr abstrakt sind, sollte hier eine genauere Erläuterung erfolgen, ist aber nicht
zwingend erforderlich.

zu DefinePropertys:

Bei Name= trägt man den Namen ein, unter dem der 4Pol-Parameter in der Auswahl-Liste erscheinen soll.
Bei XUnit= wird das Einheiten-Kürzel für die X-Achse (bei Bode immer Hz) eingetragen.
Bei YUnit= wird das Einheiten-Kürzel für die Y-Achse angegeben.
Bei PlotType= legt man fest ob die Ausgabe als Bode-Plot, Nyquist-Plot oder Smith-Diagramm erfolgen soll.
Beim Nyquist-Plot wird der Real-Teil von Y auf der X-Achse und der Imaginär-Teil auf der Y-Achse
abgebildet. 
Zum Smith-Diagramm ist das Selbe zu sagen, nur das hier das Koordinaten-System die Transformation in die
Z/Z0-Ebene darstellt.
Beim Bode-Plot wird der Real-Teil von Y auf der Y-Achse abgebildet, die X-Achse stellt immer die
Frequenz dar.

zu Compute4PolParams:

In diesem Block findet die eigentliche Berechnung des 4Pol-Parameters für jede Frequenz statt. In der
letzten Zeile muß immer ein Y-Zeichen auf der linken Seite für die Zuweisung des End-Ergebnisses
geschrieben stehen. Um das Ergebniss vorzubereiten, können beliebig viele Pre-Formeln verwendet
werden.
Folgende vordefinierte Symbole, die nur auf der rechten Seite auftauchen dürfen, stehen zur Verfügung:

y11, y12, y21, y22: das sind die Y-Parameter der Schaltung, die ToneCirc für jede Frequenz berechnet.

DetY: Determinante der Y-Matrix, DetY = y11*y22 - y12*y21

Rq, RL, Gq, GL: Quell- und Lastwiderstand, sowie deren Leitwert-Entsprechungen.

Neben den Standart-Operationen stehen noch folgende Funktionen für die komplexwertigen
Berechnungen zur Verfügung:

Funktion Erläuterung Parameter Ergebniss
X^Y Exponent (x^y), x hoch y x, y: real real
Exp(X) Exponential-Funktion e^x komplex komplex
fabs(X) Absolute-Betrag von X komplex real
fabs2(X) Betrag zum Quadrat, Re(X)^2 + Im(X)^2 komplex real
Phase(X) Phase von X komplex real, Radiant
Sqrt(X) Quadrat-Wurzel komplex komplex
ln(X) natrlicher Logarithmus real real
log(X) Zehner-Logarithmus real real
Re(X) Real-Teil komplex real
Im(X) Imaginär-Teil komplex real

Es wird generell mit komplexwertigen Variablen und Zahlen gearbeitet. Reine Real-Werte werden als
komplexer Wert, dessen Imaginär-Teil gleich 0 ist, dargestellt.

Hier noch die Formel für den Ausgangswellenwiderstand und zusätzlich für den Eingang:

Also, die Formel einfach (ZWout --> Y) reinschreiben und fertig.


Vorstellung der Leistungs-Transfer-4Pol-Parameter:

Habe 4Pol-Parameter hinzugefügt, die mit der Übertragung von Leistung vom Ein- zum Ausgang zu
tun haben. Diese Parameter können sehr hilfreich sein, wenn es um Anpassung am Ein- und Ausgang
geht, oder wenn man das energetische Verhalten im Inneren eines 4Pols studieren möchte.

Schauen wir uns folgende Skizze an:

Wir beschäftigen uns hier nur mit Wirkleistungen. P1 soll die Wirkleistung am Eingang und P2 die 
Wirkleistung am Ausgang des 4-Pols (eigentlich 2-Tor) darstellen. P2 wird in RL umgesetzt.

Die Wirkleistung am Eingang berechnet sich zu:

und die Wirkleistung am Ausgang (an RL):

Für P2/P1 ergibt sich dann ganz einfach:


Dabei ist V1 die Spannungsverstärkung U2/U1, und Yin = 1/Zin (Zin: Eingangs-Impedanz).

Der Leistungstransfer-Parameter P2/P1 zeigt das Verhältniss der wirklich herausfließenden Energie zur
wirklich hereinfließenden Energie an. Ist dieser Parameter < 1, so handelt sich um einen 4Pol, in dem
Energie verbrannt wird (passiv, mit ohmschen Widerständen). Ist der Parameter > 1, dann fließt Energie
noch an anderer Stelle in den 4-Pol hinein (aktiv, mit Betriebsspannungs-Quelle als Energiequelle).
Ein passiver 4Pol, der in seinem Inneren keine Energie verbrennt (keine ohmschen Widerstände), wird
immer den Wert 1 erzeugen, unabhängig davon, ob an Ein- oder Ausgang Anpassung vorliegt oder nicht.
Als Beispiel seien hier genannt: LC-Anpassungs-Glieder, Transformator und Leitung.
Im Allgemeinen ist dieser Parameter natürlich stark frequenzabhängig, wie wir später noch sehen werden.
Also, ich denke P2/P1 zeigt sehr schön das Wirken des Energieerhaltungs-Satzes, wenn man eine Schaltung
auf einen Eingang und einen Ausgang reduziert (eben einen 4-Pol erzeugt).

Der Script für P2/P1 in der Datei PowTransfer_P2_P1.4pp sieht so aus:

#DefinePropertys
Name = Power Transfer P2/P1
XUnit = Hz
YUnit = Rel
PlotType = Bode
#End

#Compute4PolParam
VU1 = -y21/(y22 + Gl)
Yin = (y11*GL + dety)/(y22 + GL)
Y = fabs2(VU1)/(Re(Yin)*RL)
#End

Ich denke, dass muß nicht noch weiter erklärt werden.

Nun fügen wir einen zweiten Leistungs-Transfer-Parameter ein. Dieser soll das Verhältniss von P2 zur
maximal möglichen Leistung, die von einer gegebenen Quelle an den Eingang des 4-Pols abgegeben werden
kann, beschreiben. Diese Bezugsleistung bezeichnen wir mit P0, so dass der neue Parameter P2/P0 genannt
werden kann.

Schauen wir uns folgende Skizze an:

Die maximale Leistung die von der Quelle U0, Rq an den Eingang des 4-Pols abgegeben werden kann, berechnet
sich, da Anpassung vorliegen muß, wie folgt:

Jetzt müssen wir noch P2 mit Hilfe von U0 ausdrücken:

Für P2/P0 ergibt sich dann wieder ganz einfach:

Gedanklich kann man sich diesen Sachverhalt auch mittels folgender Skizze klar machen:

   

Vp ist bei Anpassung am Eingang gleich 1 (Maximum). Man sieht, dass ein nicht-energiefressender passiver 4-Pol
bei Anpassung am Eingang, immer den Wert 1 liefert. Bei Fehlanpassung am Eingang ist der Wert natürlich < 1.

Der Script für P2/P0 in der Datei PowTransfer_P2_P0.4pp sieht so aus:

#DefinePropertys
Name = Power Transfer P2/P0
XUnit = Hz
YUnit = Rel
PlotType = Bode
#End

#Compute4PolParam
VU1 = -y21/(y22 + GL)
Zin = (y22 + GL)/(y11*GL + dety)
Y = 4*Rq/RL*fabs2(VU1)*fabs2(Zin/(Zin + Rq))
#End

Ein Nachteil des Parameters P2/P0 ist die fehlende Normalisierung, wenn P2/P1 ungleich 1 liefert. Das ist bei
4-Polen der Fall, die Energie (Leistung) verbrauchen oder Leistung verstärken. Deswegen führen wir noch einen
dritten Parameter ein, der dieses Manko behebt. Wir erreichen die Normalisierung, indem wir P2/P0 durch
P2/P1 im Maximum dividieren. Das Maximum von P2/P1 wird natürlich bei ausgangsmäßiger Anpassung erzielt,
nämlich wenn RL = Zout ist:

An dieser Formel sieht man, dass sowohl der Eingang (P1/P0) als auch der Ausgang (P2/P1) auf ein Maximum von
1 normalisiert ist. Dieser Parameter liefert also immer 1, wenn Anpassung an Eingang und Ausgang vorliegt,
unabhängig von der Art des 4-Pols. Ich nenne diesen Parameter deshalb P2/P0 normalized
Bei passiven nicht-energiefressenden 4-Polen (bei der gegebenen Frequenz) ist das Ergebniss identisch mit P2/P0.
P2/P0 normalized kann also als Verallgemeinerung von P2/P0 angesehen werden.

Der Script für P2/P0 norm in der Datei PowTransfer_P2_P0_Normalized.4pp sieht so aus:

#DefinePropertys
Name = Power Transfer P2/P0 Normalized
XUnit = Hz
YUnit = Rel
PlotType = Bode
#End

#Compute4PolParam
VU1 = -y21/(y22 + GL)
Zin = (y22 + GL)/(y11*GL + dety)
P2_P0 = 4*Rq/RL*fabs2(VU1)*fabs2(Zin/(Zin + Rq))

Yout = (y22*Gq + dety)/(y11 + Gq)
VU1opt = -y21/(y22 + Yout)
Yinopt = (y11*Yout + dety)/(y22 + Yout)
P2_P1_opt = fabs2(VU1opt)*Yout/Re(Yinopt)

Y = P2_P0/P2_P1_opt
#End

Wir wollen nun diese Leistungs-Transfer-Parameter in Aktionen sehen und rechnen ein paar Beispiele.

Bitte die Schaltung DocSamples/Test_PowTransfer.circ öffnen:

Nach Ausführung der LSA öffnen sich für die Transformator-Schaltung (Analyser 1) folgende Charts:

Die blauen Kurven habe ich mittels SnapShot bei RL = 2kOhm (Fehlanpassung) eingefroren.
An P2/P0_norm sieht man, dass der Arbeitsbereich des Transformators bei etwa 10 bis 100kHz liegt. Bei höheren
und niedrigeren Frequenzen führt die zunehmende Fehlanpassung dazu, dass immer mehr Energie in Rq verbrannt
wird oder garnicht erst abgegeben werden kann. Bei P2/P1 ist zu erkennen, dass unterhalb von 3kHz, Energie im
Transformator selber verbrannt wird, da RL nicht mehr auf die Primärseite 'durchgetunnelt' werden kann, und nur
noch ein Blindwiderstand am Eingang zu sehen ist (neben dem Wicklungswiderstand). Man sieht auch das P2/P1
im Wesentlichen unabhängig vom Anpassungsgrad ist. Desweiteren ist zu sehen, dass nur in einem bestimmten
Frequenzbereich Anpassung möglich ist, nämlich wenn Zin als auch Zout nur ohmsche (Reale) Anteile haben. Das
kann man mit den 4Pol-Parametern Intput/Output-Impedance nachprüfen.

Für die Leitung (Analyser 2) öffnen sich folgende Charts:

Die blauen Kurven habe ich wieder mittels SnapShot bei RL = 1kOhm (Fehlanpassung) eingefroren. Ich möchte noch
vorwegnehmen, dass das Leitungsmodell als ComplexCurrent (LSA only) modelliert ist. Dieses Modell gilt für alle
Frequenzen (von 0Hz bis unendlich), da alle Beläge richtig eingerechnet werden. Man sieht, dass erst bei Frequenzen
oberhalb von 1 Mhz Anpassung erreicht werden kann. Das liegt am hohen Verlust-Serienwiderstand der 100m langen
Leitung (100Ohm). Erst bei hohen Frequenzen trudelt die Eingangs- und Ausgangsimpedanz gegen 50 Ohm. Wunderbar
zeigt das der 4Pol-Parameter InputImpedance Im/Re als Ortskurve (stark gezoomt):

Bei tiefen Frequenzen läuft der Eingangs/Ausgangswiderstand gegen genau 150Ohm. Bei RL = 1kOhm ist natürlich
immer Fehlanpassung die Folge.
An P2/P1 sieht man, dass in der Leitung Energie verbrannt wird, bei hohen Frequenzen (also wenn Anpassung vor-
herscht) aber noch viel mehr.

Für den Spannungsverstärker (Analyser 3) öffnen sich noch folgende Charts:

Die blauen Kurven habe ich wieder mittels SnapShot bei RL = 10kOhm (Fehlanpassung) eingefroren. Man erkennt,
dass bei Anpassung am Ausgang die innere Leistungsverstärkung 250 beträgt, bei Fehlanpassung (RL=10k) nur
noch ungefähr 80. Wegen des Kondensators bricht die Anpassung und damit die Leistungsverstärkung bei höheren
Frequenzen ein. Der Blindleitwert des Kondensators wird immer größer, und schließt den Ausgang kurz, so dass
immer mehr Energie im Innenwiderstand der Spannungsquelle E verbraten wird (P2/P1 sinkt). Die am Eingang hinein
fließende Energie bleibt ja konstant.
Euch ist sicherlich aufgefallen, dass dieser 4Pol viel Leistung (Energie) erzeugt, ohne dass Energie zusätzlich hinzu
geführt wird (über Betriebsspannungsquelle). Es muß sich also hier um ein sogenanntes Perpetuum Mobile handeln.
Diese Schaltung (4Pol) kann es also in der Realität nicht geben. Alle idealen gesteuerten Strom- bzw. Spannungsquellen
und deren Derivate sind keine natürlichen Elemente, Sie erfüllen nicht den Energieerhaltungsatz.
Bei einem Spannungs/Leistungs-Verstärker mit Transistor muß mindestens doppelt soviel Leistung durch die Betriebs-
spannungsquelle aufgebracht werden, als wie herauskommt (bei P2). Denn auch bei Anpassung verbrennt der Innen-
widerstand einer Quelle die Hälfte der aufgebrachten Leistung.

Zum Abschluss noch ein Beispiel mit dem Plot-Type Smith:

Zu sehen ist hier der Eingangs-Reflexions-Faktor eines Quartzfilters.

Desweiteren habe ich auch schon den Ausgangs-Reflexionsfaktor sowie alle S-Parameter gescriptet.

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