Modellierung mit dem Typ ComplexCurrents am Beispiel Leitung
erklärt

Grundlagen des Typs ComplexCurrents:

Der Modell-Typ ComplexCurrents ist vergleichbar mit dem Typ RealCurrents, nur das alle Pin-Spannungen,
Pin-Ströme und Variable/Konstante als kompexwertige Elemente auftreten. Dieser Typ arbeitet 
nämlich im Frequenz-Bereich, und kann deswegen nur in der LSA gerechnet werden (LSA only). Es ist
aber auch statische Analyse (SA) möglich, hier wird die Fequenz einfach auf 0Hz gesetzt.
Wenn die Beschreibung eines Elements mit Differential-Gleichungen (die sich aus einer Laplace-Rück-
Transformation ableiten liesen) nicht möglich ist, bleibt ComplexCurrents als einzige Alternative übrig.
Man muß sich dann halt mit dem Frequenzbereich begnügen und kann nur lineare, stationäre Analysen
durchführen.

Im Allgemeinen wird ein Element im ComplexCurrents-Modell so beschrieben:

  <Bilanzstrom-Gleichungen>

Wobei I1 , ..., IN die komplexen Pin-Ströme, und U1, ...., UN die komplexen Pin-Spannunen (nicht mit den
Pin-Potentialen verwechseln) sind. Ein Pin-Strom kann nur aus der Linear-Kombinationen der Pin-Spannungen
errechnet werden. Man spricht hier von einem linearen System. Die Faktoren vor den Pin-Spannungen sind
die sogenannten Y-Parameter. Y-Parameter können i.A. nichtlineare Funktionen der  imaginären
Kreissfrequenz iw sein, aber auch von Parametern des Elements.

Erstellung eines Modells für die Leitung:

Sorry, dass ich hier schon wieder mit der elektrischen Leitung komme, aber Diese bietet sich hier regelrecht
an. Ein exaktes Leitungs-Modell, dass das Verhalten an den Außen-Pins beschreibt, ist nämlich nur im
Frequenzbereich möglich. Es läßt sich keine Differential-Gleichung finden, welche das Verhalten der Leitung
korrekt (an den Enden) beschreibt. Es gibt nur Modelle, die den Widerstands-Belag entweder ganz ignorieren,
oder eine Näherung für hohe Frequenzen anbieten (siehe LaplaceCurrents-Modell der Leitung).

Wir machen erstmal wieder eine Skizze:

Die exakten Gleichungen für den Frequenz-Bereich lassen sich für die Enden aus der Telegraphen-Gleichung
ableiten. Sie lauten:

Dabei ist gamma die komplexe Fortpflanzungskonstante und ZW der komplexe Wellenwiderstand. Ls, Cs, Rs, Gs
sind die entsprechenden Beläge und len die Länge der Leitung (Element-Parameter). Man sieht, dass nur bei
hohen Frequenzen ZW und gamma eine Form annehmen, wo sich die Strom-Gleichungen laplace-rück-
transformieren lassen. Der Einfluß der Verlust-Beläge (reele Werte) schwindet dann aber eben nicht, so dass
diese Näherung mit Vorsicht zu geniesen ist (auch bei hohen Frequenzen). Setzt man dagegen Rs und Gs gleich
0, so haben wor eine nicht-verlust-behaftete Leitung (Modell läßt sich aus Wellen-Gleichung ableiten).
Nicht berücksichtigt haben wir, dass Rs mit der Frequenz ansteigt (Skin-Effekt), wodurch die Dämpfung der
Leitung mit der Frequenz größer wird. Das könnte man aber mit diesem Modell-Typ auch noch bewerkstelligen.

Die einzige Möglichkeit, eine Leitung exakt mittels Differential-Gleichung (eigentlich Differenzen-Gleichung)
zu berechnen, besteht in der Lösung der Telegraphen-Gleichung zwischen den Enden der Leitung. Man muß
dann einen Orts-Raum einführen (Vektoren für Strom und Spannung, jeweils für die vorlaufende und rück-
laufende Welle) und die Ergebnisse an den Grenzen des Orts-Raumes als Pin-Ströme einspeisen. Ich habe das
auch schon versucht und es hat im Prinzip funktioniert, nur dass mir die Ergebnisse nach etlichen Hin- und
Rückreflexionen regelrecht entartet (explodiert) sind. Wahrscheinlich aus numerischen Gründen, oder Fehler ?

Schauen wir uns nun den Script an:

#Volts
uin   = u1 - u2
uout = u3 - u4
#End

#ComplexCurrents
gamma = sqrt((Rs+jw*Ls)*(Gs+jw*Cs))
Zw = sqrt((Rs+jw*Ls)/(Gs+jw*Cs))
z = 1/(1-exp(-2*gamma*len))
Gw = 1/Zw
i1 = GW*z*( (1 + exp(-2*gamma*len))*uin - 2*exp(-gamma*len)*uout )
<i2 = -i1>
i3 = GW*z*( (1 + exp(-2*gamma*len))*uout - 2*exp(-gamma*len)*uin )
<i4 = -i3>
#End

Hier der vollständige Script von ElectricLine_LSAonly.selfdef.

Der neue Modell-Typ wird also im Block #ComplexCurrents definiert. Hier trägt man wie bei RealCurrents
die PinStrom- und Bilanzstrom-Gleichungen ein. Das Ergebniss kann mit beliebig vielen PreFormeln vor-
bereitet werden. In den PreFormeln dürfen aber (im Gegensatz zu RealCurrents) keine Pin-Spannungen/Ströme
verwendet werden. Man kann hier (im Gegensatz zu LaplaceCurrent) die Formeln, frei von der Leber weg,
schreiben, ohne auf Syntax (fürs Matching) achten zu müssen. Die Y-Parameter findet ToneCirc nämlich durch
partielles Differenzieren der Pin-Ströme nach den Pin-Spannungen automatisch. Für die imaginäre Kreiss-
Frequenz steht das Symbol jw zur Verfügung. Neben den Standart-Operationen stehen noch folgende
Funktionen für die komplexwertigen Berechnungen zur Verfügung:

Funktion Erläuterung Parameter Ergebniss
X^Y Exponent (x^y), x hoch y x, y: real real
Exp(X) Exponential-Funktion e^x komplex komplex
fabs(X) Absolute-Betrag von X komplex real
fabs2(X) Betrag zum Quadrat, Re(X)^2 + Im(X)^2 komplex real
Phase(X) Phase von X, atan2(Re(X), Im(X)) komplex real, Radiant
Sqrt(X) Quadrat-Wurzel komplex komplex
ln(X) natrlicher Logarithmus real real
log(X) Zehner-Logarithmus real real
Re(X) Real-Teil komplex real
Im(X) Imaginär-Teil komplex real

Es wird generell mit komplexwertigen Variablen und Zahlen gearbeitet. Reine Real-Werte werden als
komplexer Wert, dessen Imaginär-Teil gleich 0 ist, dargestellt.

Das Verwenden von StateVars und PinOld-Spannungen macht natürlich hier keinen Sinn. Es können aber
innere Knoten, interne Masse als auch Part-Ströme verwendet werden.
Verwendung von #DefineStaticInfoText und #DefineDynCharts ist nicht möglich.

Simulation des Leitungsmodells:

Wir vergleichen jetzt dieses Modell mit dem LaplaceCurrents-Modell, das nur eine Näherung für hohe
Frequenzen darstellt.
Also bitte die Schaltung DocSamples\Compare_LSA_ELine_Models.circ öffnen:

Um die Ergebnisse der statischen Analyse zu sehen, habe ich zwei Konstant-Spannungs-Quellen hinzugefügt.
Hier sieht man, dass das Ergebniss beim LaplaceCurrents-Modell offensichtlich falsch ist. Der Serien-
Widerstand beider Leitungen beläuft sich auf insgesamt 100Ohm. Das Ergebniss der ComplexCurrents-
Leitung ist auch bei der statischen Analyse (Frequenz 0Hz) exakt. Rq sowie RL werden bei der SA nicht
berücksichtigt.
Nach Ausführung der LSA öffnen sich für die Eingangsimpedanz folgende Charts:

Die blaue SnapShot-Kurve habe ich bei R1/R2 = 50Ohm (also Anpassung) eingefroren. Deutlich ist hier der Unter-
schied zwischen beiden Leitungen zu erkennen. Die exakte Leitung läuft bei tiefen Frequenzen gegen etwa 500Ohm
(1kOhm parallel zu 1.1kOhm, bitte den Innenwiderstand von E1/E2 nicht vergessen), bei Anpassung gegen etwa
130Ohm (1kOhm parallel zu 150Ohm). Bei Line2 hingegen,sieht man am Eingang immer den Wellenwiderstand, was
natürlich falsch ist. Bei hohen Frequenzen (ab etwa 2Mhz, entspricht 1/Tv) liefern beide Leitungen den Wellenwiderstand
von 50Ohm.

Und hier noch der Eingangs-Reflexions-Faktor von Line1 als Smith-Diagramm:

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